noetherscher Ring

noetherscher Ring

 

['nø-; nach A. E. Noether], ein kommutativer Ring R mit eins, der eine der beiden nachfolgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt: 1) Jedes Ideal I in R wird von endlich vielen Elementen erzeugt, d. h., jedes Element a ∈ I lässt sich in der Form a = K₁ b₁ +.. . + K_n b_n darstellen, wobei K_i (i = 1,.. ., n) Elemente von R und b_i (i = 1,.. ., n) bestimmte Elemente von I sind. Letztere werden auch Basis genannt. 2) In jeder nichtleeren Menge von Idealen in R gibt es ein maximales Ideal, das ist ein Ideal, das in keinem Ideal aus der Menge von Idealen enthalten ist. Beispiele: alle Körper, der Ring der ganzen Zahlen ℤ.